一道可以应用于捉奸的概率题

一道可以应用于捉奸的概率题

伊恩·麦克尤恩一向喜欢在小说里玩数学梗,在他的短篇小说《立体几何》里,数学家为了证明自己的「无表面的平面」理论,最终令自己失踪。在长篇小说《甜牙》中,麦克尤恩又让女主角塞丽娜毕业于剑桥数学系。然而女主角有限的数学天赋远不及她作为一个优秀读者的能力,她被军情五处安排去秘密资助年轻作家汤姆,潜移默化地影响他,目的是让汤姆写出符合国家主旋律作品。

于是我们看到了这个美艳的女间谍和作家一边挥霍国家津贴,一边爱得如胶似漆,把国家主旋律丢到了九霄云外,甚至开始聊起什么好玩的数学题可以写成小说。这也是女主角在这本小说中唯一一次展现出一点数学智慧,她给男主角讲了一个来自美国电视游戏节目中的游戏。

如果你了解蒙蒂霍尔问题(Monty Hall problem)可以跳过这里。它的规则是这样的:

你的面前放着三个封好的盒子:一号,二号,三号。其中某一个盒子里装有让你此生都不用上班的奖金。但你不知道是哪一个。你选择了其中一个,比如一号,并当即打开。很清楚奖品在哪个盒子里的主持人,在剩下的两个盒子里,打开了一个他知道是空着的盒子,比如是三号。于是你知道那份奖品要么在你手里的一号盒子里,要么在二号盒子里。

现在给你一次选择,可以把手里的一号换成二号。你选择换,还是不换?

蒙蒂霍尔问题

汤姆觉得这个题显而易见。开始挑一号的时候,是三选一,等到三号打开以后,就成了二选一,不管改或不改都没有任何区别。

而塞丽娜却告诉他,如果选择转而挑选另一个盒子,从此不需要上班的概率会是原来的两倍。

汤姆觉得这个剑桥数学系毕业的美女在胡说八道。

塞丽娜继续解释说:「你选中津贴的盒子可能性仍然维持在⅓。所有概率之和必须是 1。他们它在另外两只盒子里的可能性就一定是⅔。三号已经打开,是空的,所以就是⅔的几率在二号里。」

汤姆说:「主持人打开那个盒子给了我更多的信息。我的概率本来是⅓,现在变成了½。」

「这种情况只在一种条件下才能成立:在他打开那个盒子之后,你才走进房间,然后按照要求在另外两个封闭的盒子中挑选。如果是这样,那你选中的几率就是½。」

塞丽娜又换了种说法:「只有当你在一开始就选对的情况下,从一号换到二号,才是个糟糕的选择。而你当时选对的概率是⅓。所以,改错的几率是⅓。那也就意味着,改对的几率达到⅔。」

汤姆依稀听懂后,大受震撼,他决定用这个新学会的概率题目写个小说。三天后,一个名为《可能通奸》短篇寄给了塞丽娜。

其实我们都知道这个故事还是老麦自己写的,但老麦却在这里卖了个关子,否则如何体现男女主角的天造地设你侬我侬呢?

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《可能通奸》的漏洞出在哪里?

塞丽娜打开汤姆的手稿,快速浏览了一遍之后,她感觉这个故事好像哪里不对。

《可能通奸》的主人公是个建筑师兼数学爱好者,他的妻子频频外遇。某天主人公跟踪着妻子,看着她和一个男人走进了一家小旅馆。主人公跟着他们走上楼梯,放慢脚步跟在后面,听见他们走上了四楼,门打开,又关上。他走上楼梯,前面只有三个房间,401、402、403。他打算等这对男女上床,然后踢开房门,让他老婆颜面扫地,并把那个奸夫揍一顿。

时间慢慢流逝,始终没有呻吟声或床垫弹簧响动从某个房间里传出来,主人公有点等不及了,到了该选择的时候了。

他选择了 401 房间。正当他后退几步,准备跑上去准备飞起一脚时,403 的房门打来了,一对夫妇带着婴儿走了出来,对主人公报以微笑,然后径直下楼。

小说到这里张力凸显,汤姆现学现卖,让这个建筑师和业余数学爱好者头脑中飞速运行了一个计算——他妻子在 401 的几率始终是⅓,而现在,403 是空的。那么她一定有⅔的几率在 402。于是他对着 402 一脚下去,果然看到那一对一丝不挂地躺在床上。

他对妻子报以鄙夷的目光,狠狠揍了奸夫一拳,然后潇洒离去,等待办理离婚手续。

看完这个故事,各位读者觉出有漏洞了吗?

403 里那队夫妇的出现,能够提高猜中 402 的几率吗?

应用于捉奸的正确方式

塞丽娜看完这个小说十分懊悔,看来她没能让汤姆完全理解这个题目。

403 夫妇的出现是随机的,无法替代游戏里主持人的角色。后者的选择受制于、也取决于参赛者,不能用一个随机角色来替代。如果主人公之前选择的是 403,这对带着婴儿的夫妇不可能变个戏法,把自己变到另一个房间里去,以便从另一扇门里出来。他们出现后,主人公的妻子在 402 和 401 的可能性是完全相同的,他们完全可以按照最初的选择去踢开原来那扇门。

塞丽娜认为自己有义务为这个短篇的事故想出解决方案。

倒回到主人公准备助跑冲向 401 的那一段。塞丽娜删掉了那对从 403 房间走出的夫妇。而是设计两个清洁工在楼下的交谈,交谈声飘上楼来,被主人公听得一清二楚:

清洁工 A:「我打算上楼,在两个空房间里挑一个打扫。」

清洁工 B:「小心点儿,那一对儿就在他们常待的那间。」

于是主人公作为数学爱好者,头脑飞速旋转,想出了一个办法,他只要靠近任何一扇门站着,假装是正打算进入自己房间的新客人,或者那对情人的朋友,就会迫使清洁工只能在另外两个房间挑一个进去。那么无论清洁工选择打扫哪个房间,他都会选择另一个,把自己选中的概率翻个倍。

就这样,塞丽娜重写了故事的结局。我们都能猜到,塞丽娜到最后也没去引诱汤姆写出什么符合军情五处口味的作品,两个相互欣赏的年轻人最终也没能走到一起,而命运的相逢之巧妙,由不得一个随机角色来替代。

小说数学概率
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